关键词：白光ＬＥＤ、荧光粉层、蒙特卡罗分析、光子输运

1 前言

作为一种新型的发光体，ＬＥＤ自诞生以来就倍受照明界关注。特别是进入２１世纪后世界面临严重的能源、环境危机，这就迫切需要改进现有的照明设备，提高其效率。而ＬＥＤ具有电光效率高、体积小、寿命长、电压低、节能和环保等优点，是未来最重要的照明器件之一。ＬＥＤ与传统的白炽灯、日光灯相比，在电光效率、寿命上占有绝对的优势，一旦在成本、光效上取得突破，其前景将不可限量。而且由于ＬＥＤ出射光线的相对集中性和发散角的狭小性，使得其在汽车前照灯、手机的背光照明、光显示、交通灯、信号灯等领域的应用前景远远大于普通光源。
 提升白光ＬＥＤ光效的方法主要有两种，即基底的蓝光芯片自身的光效提升和荧光粉层激发光效的提升。本文主要讨论荧光粉层激发光效的提升方法。荧光粉层的光效关键因素之一在于荧光粉转换效率；另一关键因素在于粉层自身参数，如荧光粉层厚度、散射参数、吸收参数等所决定的光输出效率。所以，提高荧光粉层的光效也是提高白光ＬＥＤ光效的重要保证。

通过改变荧光粉层的荧光粉的粒度、用量、涂覆位置、形状、固晶位置等参数，不但会影响光效，而且会改变颜色参数以及空间光强分布。荧光粉层诸参数之设定决定了该白光ＬＥＤ的色温Ｒａ值。

为了改善传统ＬＥＤ出射光角度狭小，光强随角度变化迅速衰减，光谱空间分布不均，边缘存在严重偏色等问题，必须改进ＬＥＤ封装结构的设计。近年来出现了不少新型的封装，对于改善ＬＥＤ出射光的分布起到了较好的作用。为了更好地设计外层的环氧树脂封装结构，势必要对荧光粉层出射光的分布作进一步的研究和优化。

2 蒙特卡罗方法

蒙特卡洛法来源于人们对随机抽样事件的概率理解。其基本形式蒙特卡罗估计（Cｒｕｄｅ　Ｍｏｎｔｅ　Ｃａｒｌｏ　Eｓｔｉｍａｔｏｒ）是基于对积分的概率解释。

若有一服从均匀分布的序列Ｓｎ，则有经验近似估计式：
 M=■■f（Sn） （1）
 即在函数ｆ（ｘ）值域中随机取ｎ个均匀分布的Ｓｎ点，对这Ｓｎ个点的函数值进行平均，便可得到一个平均数。根据强大数定律（Ｓｔｒｏｎｇ　Ｌａｗ　ｏｆ　Ｌａｒｇｅ　Ｎｕｍｂｅｒｓ），此平均数以概率１收敛于其期望值Ｅ，也就是：
 ■M→E （2）
 （1）与（2）式反映了一个原理：对于任何函数，只要在其取值区间内均匀地取足够多的样品（样品越多、相关系数越低，即随机性越好则结论越准确），就能得到接近于其期望值的结果。按照统计原理，在样品达到无穷多时，函数累计平均的结果就是其期望值。也就是在无穷多时，实现了事件过程的完全重演。而正因为大多数的现象都可以归结为函数的集合，所以蒙特卡洛估计原理为模拟现实世界中的各种现象提供了可能性。但正如其方法本身所言，如果要得到比较准确的结果，就必须对大量的数据进行模拟。所以在计算机技术还很落后的过去，要对大量的数据进行人工采样几乎是无法实现的，即使进行了这样的尝试也会因为数据量达不到随机模拟的精度要求而失败。因此，蒙特卡洛方法也一直被人们忽略。直到计算机技术取得了突破性进展之后，人们才有可能通过计算机获取足够的数据采样，得到精度有保证的预测结论。

3 荧光粉层中的光子输运模拟

光子在荧光粉层传输的过程中会遇到边界的反射、折射；胶体物质的散射、吸收；荧光粉的吸收、新光子的发射等情况。所有的这些事件都可以看作是光子在荧光粉层中传输时随机发生的函数，并且这些函数的值就是影响光子继续传输、频率改变的因子。

所以，对荧光粉层中光子传输过程的蒙特卡罗模拟是建立在输运方程基础上的概率方法。模拟包含两部分过程：光子在胶体中的散射和吸收，光子被荧光粉吸收和重新出射。光子的散射仅改变传播方向，不改变光子频率；在散射体中的吸收相当于光子的“死亡”；被荧光粉吸收后有一定几率再次出射光子，新光子不但传播方向发生变化，而且频率也发生改变。

荧光粉中光子的平均自由程可以根据概率计算。设定光子吸收系数（概率）为μa，散射系数（概率）为μs，所以光子在任意位置与荧光粉发生碰撞的概率是μa+μs。

设定衰减系数为μt=μa+μs，则光子在传输了ds距离时，发生散射和吸收作用的概率是μtds，表示为：
 μt=■ （3）
 得到：
 　　　d1n[P（s＞s′）]=-μtds （4）
 对ｓ在（０，s′）积分，得到概率分布：
 P{s＜s′}=1-e■ （5）
 可以取随机数来模拟概率得光子包步长，因为不同波长的光子在荧光粉层中的吸收系数不同，所以对不同波长光子的吸收、散射系数定义μa（ω）+μs（ω）。整理随机步长公式为：
 s=-■=■ （6）
 光子运动了一个步长之后，将会在相互作用点发生散射或者吸收事件。被吸收的光子就意味着“死亡”，散射后的光子继续移动，但是运动角度发生改变。在散射事件中，需要对偏转角θ∈（0，π），ψ∈（0，2π）和方位角进行统计取样，其中，偏转角余弦的几率分布可以用散射函数来描述，该散射函数是由Ｈｅｎｙｅｙ和Ｇｒｅｅｎｓｔｅｉｎ（１９４１年）首先提出来的，描述了光子从方向■散射到方向■■′的概率：
 　 P（cosθ）=■ （7）
 φ=2πξ，ξ∈{0，1}
 其中，ｇ为各项异性系数，等于偏转角余弦的平均值，g∈（-1，1）。ｇ＝０时介质各向同性；ｇ＝１时表示有极强的前向散射能力；ｇ＝－１时表示有极强的后向散射能力。

以概率方式表示cosθ得：
 cosθ=■{1+g2■-[■]■}，g≠0；2ξ-1，g=0 （8）
 对于荧光粉层来说，其出射光谱线加宽的主要原因可以归结为寿命加宽，所以在模拟时可以将光子的发射过程中所产生的波长几率近似地用洛仑兹函数来描述：
 P（ω）=■×■ （9）
 其中，△w是光谱线线宽（线形函数的半极值点所对应的频率全宽度，简称ＦＷＨＭ），w■是谱线中心频率。
 通过求取概率累计分布函数的反函数来获得符合概率分布随机数，得到出射的新光子随机波长：
 ω=ω0-△ω■ （10）
 ξ∈（0，1）为均匀分布随机变量。
 光子在荧光粉层中传输到边界时，考虑两种介质的折射率不匹配，入射光将在散射介质表面发生镜面反射，使一部分光进入散射介质内部，另一部分光被反射回介质表面。

根据Ｆｒｅｓｎｅｌ反射定律，反射率为：
 Rsp=■[（■）■+（■）■] （11）
 其中θ1和θ2分别为入射角和透射角，垂直入射条件下，cosθ1和cosθ2均为１，n1和θ2分别为外部媒质和荧光粉层介质的折射率。n1与θ2满足Ｓｈｅｌｌ定律，
 n1sinθ1=n2cosθ2 （12）

镜面反射定义的是与组织发生相互作用的光子在界面被反射的几率。并不能反映在界面有可能发生的漫反射的传输规律。如果我们想严格地区分镜面反射和漫反射，可以通过跟踪光子是否和组织发生了相互作用，在记录光子的反射时，如果出射光子在出射前和介质发生了相互作用，则该反射为漫反射，如果没有发生相互作用，则该反射为镜面反射。

蒙特卡罗方法模拟光子在荧光粉层中的的输运过程，其步骤为：
 （１）根据入射条件确定起始跟踪点；
 （２）确定光子行进的方向和下一次碰撞的位置；
 （３）确定在该位置光子的吸收、散射和发射部分；
 （４）判断光子是否到达边界；
 （５）返回第二步。

如此循环计算，直到光子包权重小于某一设定值，就对其进行“俄罗斯轮盘赌”，判断其生存机会。光子逸出荧光粉层上下表面时就结束对该光子包的跟踪并记录当前光子参数。然后，返回第一步记录另一光子，直到所设定的光子数全部跟踪完毕。传播的光子数越多，则得到的反射、透射、吸收量和光子波长分布越接近真实值。

4 模拟实例

根据上述原理，模拟吸收、散射系数以及厚度的变化来考察其对出射光的影响如下（以出射光谱为例）：
 4.1 散射系数的影响（如图1所示）
 4.2 吸收系数的影响（如图2所示）
 4.3 厚度的影响（如图3所示）

参考文献
 1 张国义.陈志忠等.固态照明光源的基石—氮化镓基白光发光二极管.《第十五次技术科学论坛》
 ２ 雷桂媛.关于蒙特卡罗及模拟蒙特卡罗方法的若干研究.《浙江大学博士学位论文》
 ３ 宋宜昌.激光与生物组织相互作用的蒙特卡罗研究.《华南师范大学硕士论文》
 4 稀土在未来半导体照明中的应用
 5 Ｓｕｄｄｅａｔｈ　Ｌｅｅ，Ｓａｈａｉ　Ｖ，Ｗｉｓｈｅｒ　Ａ　ｅｔ　ａｌ．，Ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅ-ｍｅｎｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ＂ｆｏｒｗａｒｄ　ｉｍａｇｉｎｇ＂ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ－ａｎｄ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－ｄｏｍａｉｎ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｐｈｏｔｏｎ　ｍｉｇｒａｔｉｏｎ．　Ｐｒｏｃ．　ＳＰＩＥ，１９９３，　１８８８：１１７－１２７